1.问题的起源与挑战的提出

意大利科学家伽利略(Galileo，1564—1642)在1630年提出一个分析学的基本问题“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短”,这就是数学史上著名的最速降线问题的起源.

八年后，也就是1638年，伽利略经过仔细研究得出了一个解答,他在著作《论两种新科学》中认为此线是圆弧.尽管这个答案并不正确,但是却为问题的解决指明了方向.1696年6月瑞士数学家约翰•伯努利(Johann Bernoulli, 1667 ~ 1748)在《教师学报》(Acta Eruditorum)上再次就最速降线问题向全欧洲的数学家提出挑战.约翰提出的挑战很精彩,他设想在地面上不同高度的两点A和B，并且不要让其中一点直接位于另一点的正上方.连接这两个点，可以作出无限多的不同曲线,从直线、圆弧线到其他任意曲线.现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚向较低的B点.当然，球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状.挑战是，找出一条曲线AMB，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短.他称这条曲线为“最速降线”(brachstochrone)，即由希腊语中的“最短”(brochistos)和“时间”(chronos)两个词合成而来的.为确保不会使人误解这道难题，约翰又重复了一遍：“在连接已知两点的无限多的曲线中……选择一条曲线,如果用一根细管或细槽代替这条曲线，把一个小球放入细管或细槽中，放手让它滚动，那么，小球将以最短的时间从一点滚向另—点”.

显然，人们的第一个猜想是连接A，B两点作直线AB.但是，约翰对试图采用这一过于简单化的方法提出了警告……不要草率地做出判断，虽然直线AB的确是连接AB两点的最短线路,但它却不是所用时间最短的路线.而曲线AMB则是几何学家所熟知的一条曲线.如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线,我将公布这条曲线的名称.

我们稍微分析一下，就可以得知直线AB并不是所用时间最短的路线.设C是AB的中点（图1),且假定质点在A点的初速为零，由机械能守恒定律可知，质点速度与下降高度的平方根成正比,质点在沿直线滑行的过程中，将以较小的速度走完而以较大的速度走完CB这两段相等的路程，这当然是不合算的.合理的安排应是，在下降的初始阶段，因速度较小，质点应走较陡的曲线,使其尽快获得较大的速度；当质点巳有较大速度时，又应充分利用这较大的速度走较平坦的曲线，以便尽快到达B点.

2.问题的解决

约翰原定于1697年1月1日向数学界公布答案,可是到最后期限截止时，他只收到了《教师学报》杂志主编、他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716)寄来的一份答案.在莱布尼茨的要求下,他将最后期限延长至复活节，以便数学家们有充足的时间来解决这道难题.

“最速降线”问题的困难在于和以往的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件，而17世纪之前的数学理论对此并未涉及.全欧洲的数学家们都被这个挑战的新颖和别出心裁所吸引，纷纷投入到对该问题的求解，因为他们意识到这个问题的解决很有可能推动一门全新数学理论的形成.而后来的事实也的确证明了这一点.

在问题中约翰还暗示了他所挑战的对象，他写道“……很少有人能够解出我们独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深人探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的领域的人.这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了.”还有谁能怀疑他所说的“定理”就是指流数法，他所蔑视的目标就是艾萨克•牛顿呢?牛顿曾宣称早在莱布尼茨1684年发表微积分论文之前就已发现了这一理论.而莱布尼茨正是约翰的老师，约翰以一种近于惊人的执着支持着莱布尼茨，无疑,约翰的挑战目标非常明确.并且他把他的最速降线问题抄了一份,亲自装进信封，寄往英国.

那时的牛顿正在忙于英国造币局的事务，而且正如他自己所承认的那样,他的头脑已不似二十年前他全盛时期那样机敏了.当时牛顿与他的外甥女凯瑟琳•康迪特一起住在伦敦.凯瑟琳记述了这样的故事：“1697年的一天，收到伯努利寄来的问题时，艾萨克•牛顿爵士正在造币局里忙着改铸新币的工作，很晚才精疲力尽地回到家里,但是，直到解出这道难题，他才上床休息，这时，正是凌晨四点钟.”即使是在晚年,并且是在经过一天紧张的工作而感到精疲力竭的情况下，艾萨克•牛顿仍然成功地解出了众多欧洲人都未能解出的难题！由此可见这位英国伟大天才的实力.他清楚感觉到他的名望与荣誉都受到了挑战;而且,伯努利和莱布尼茨毕竟都还在急切地等待着公布他们自己的答案.因此，牛顿当仁不让,仅仅用几个小时就解出了这道难题.然而,牛顿有些被激怒了，据说他曾言道:“在数学问题上，我不喜欢……给外国人……戏弄.”

很快1697年的复活节来临了,挑战期限截止.约翰一共收到了五份答案，其中当然包括他自己的答案和莱布尼茨的答案.他的哥哥雅各布(Jakob Bernoulli，，1654 ~ 1705)寄来了第三份答案(这也许会使约翰感到沮丧,因为他们兄弟俩都视对方为强劲竞争对手，为了胜出对方一筹而斗力），而洛必达侯爵（Guillaume Francois Antonie de L’Hospital, 1661 ~ 1704)则寄来了第四份答案.最后寄来的答案，信封上盖着英国的邮戳.约翰打开后，发现答案虽然是匿名的，但却完全正确.他显然遇到了他的对手艾萨克•牛顿.答案虽然没有署名,但却明显地出于一位绝顶天才之手.据说(或许不尽可靠，但却非常有趣)，约翰半是羞恼，半是敬畏地放下这份匿名答案，会意地说“我从他的利爪认出了这头狮子.”

于是约翰在当年第6期《教师学报》公布了众人的解答，他们每个人所求得的曲线都是连接两点的上凹的一段旋轮线,而这的确“是几何学家所熟知的一条曲线我们注意到,帕斯卡和惠更斯就曾研究过这一重要曲线，但他们谁也没有认识到旋轮线还是一条最快的下降曲线.约翰以一种夸张的口吻写道……如果我明确说出惠更斯的……这一旋轮线就是我们所寻求的最速降线，你们一定会惊呆了.”

尽管答案都是旋轮线，但五个人的解法却各有千秋.约翰的解法应该是最漂亮的，类比了Fermat(费马）原理，巧妙地将物理和几何方法融合 在一起，用光学的思想一下就做出来了.雅各布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化，真正体现了变分思想.而牛顿、莱布尼茨、洛必达等人都是用的他们所擅长的微积分法解出，但具体步骤也各不相同.

图2所示的就是旋轮线,它跟摆线是一样的,该曲线是由半径a的圆周上一点在圆沿x轴滚动时产生的.当a从0增大到∞时，摆线的第一拱就扫过整个第一象限，因而只要适当选择a就可使之通过点B.

3.挑战的意义

公开挑战的传统是从16世纪在意大利米兰市进行的费拉里和塔尔塔利亚关于解一元三次方程的公开比赛开始的.之所以说最速降线挑战是数学史上最激动人心的一次公开挑战，首先在于参与挑战的人数众多,最后得出正确结果的人在数学史上都是赫赫有名的.牛顿、莱布尼茨各自独立的创立了微积分;科学世家伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫,而伯努利兄弟二人正是该家族中的杰出人物;洛必达年幼时就显露出其数学天才,以十五岁之龄解答出帕斯卡的摆线难题,1691年末至1692年7月期间师从约翰•伯努利学习微积分，其著作《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits pour I’inte lligence des lignes courbes)中直观意念来自其导师约翰的洛必达法则，更是大大地减低微分运算的难度.

其次在于这次挑战中各人的解法各有千秋，不尽相同,并且由于雅各布的解法体现出了变分的思想，且更一般化，约翰的学生、大数学家莱昂哈德• 欧拉(Leonhard Euler, 1707 ~ 1783)也开始关注这个问题，并从1726年起开始发表相关的论著，于1744 年最先给了这类问题的普遍解法，最终创立了变分法这一新的数学分支.变分法应用广泛，从肥皂泡到相对论,在诸如力学、电学、空气动力学、最优化 控制和几何学中都有应用.可以说最速降线问题直接导致了变分学的诞生,这才是这次挑战的最大意义所在.